Неприводимые многочлены и их свойства

Многочлен называется **неприводимым**, если он не может быть представлен произведением двух многочленов меньшей степени.

Пусть $p, f, g \in F[x]$ и $p$ неприводим, тогда: 1. Либо $p \mid f$, либо $\operatorname{НОД}(p,f)=1$. 2. Если $f$ неприводим, то либо $\operatorname{НОД}(p,f)=1$, либо $p \sim f$. 3. Если $p \sim f$, то $f$ неприводим. 4. Если $p \mid fg$, то $p \mid f$ или $p \mid g$

**Свойство 1.** Пусть $d = \operatorname{НОД}(p,f)$. Так как $d \mid p$ и $p$ неприводим, то $d$ — константа (тогда $\operatorname{НОД}(p,f)=1$) или $d \sim p$. Если $d \sim p$, то $p \mid d$. Поскольку $d \mid f$, то $p \mid f$. **Свойство 2.** Если $p, f$ неприводимы и $\operatorname{НОД}(p,f) \neq 1$, то по п.1 $p \mid f$. Так как $f$ неприводим, $p \sim f$. **Свойство 3.** Пусть $f \sim p$, т.е. $f = cp$ для обратимого $c$. Если $f=gh$, где $g,h$ не обратимы, то $p = (c^{-1}g)h$. Это разложение $p$ на необратимые множители, что противоречит неприводимости $p$. Значит, $f$ неприводим. **Свойство 4.** Предположим $p \nmid f$. Тогда по п.1, $\operatorname{НОД}(p,f)=1$. Так как $p \mid fg$ и $\operatorname{НОД}(p,f)=1$, из свойств взаимно простых многочленов следует, что $p \mid g$. $\square$

Пусть $g \in F[x]$ неприводим и $g \mid h_{1}, \dots, h_{m}$, тогда $\exists{i}\mathpunct{:}~ g \mid h_{i}$

Индукция по $m$ - числу многочленов в произведении **База индукции:** Очевидно. **Шаг индукции:** Пусть утверждение верно для $m - 1$ многочленов. Положим $d := \operatorname{НОД}(g, h_{m})$. Тогда $g = qd$ для некоторого многочлена $q$. Так как $g$ неприводим, то $d$ или $q$ ассоциирован с $g$. Если $g \sim d$, то $g \mid d$, откуда $g \mid h_{m}$, многочлен найден. Если $g \sim q$, то ${} d$ - нулевой степени, т.е. ненулевой элемент поля. Поэтому $g$ и $h_{m}$ взаимно просты. Следовательно, по предложению о взаимно простых $g \mid h_{1}\dots h_{m-1}$, а значит можем применить предположение индукции. $\square$